Producto Escalar de Vectores

Publicado el 05 de Enero del 2008

Publicado por yolatl en Fisica

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Fuente: Producto Escalar

Producto Escalar de Vectores

Existen dos formas de multiplicar vectores, siendo una denominada producto escalar (interno o de punto) y la otro producto vectorial (exterior o de cruz), puesto que ofrecen como resultado un escalar y un vector respectivamente.

Dados dos vectores A y B, su producto escalar se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

A • B = ABcosθ (π≥θ≥0)

La definición de producto escalar tiene aplicaciones muy relevantes, pues permite expresar magnitudes muy importantes para la física en forma muy sencilla.

Las propiedades del producto escalar son:

1.- A•B=B•A (Conmutatividad)

2.- A•(B+C)=A•B+A•C (Distributividad respecto de la suma).

3.- m(A•B)=(mA)•B=A•(mB)siendo m un escalar.

Aplicaciones:

1.- A•A=A2

El producto escalar entre un vector y si mismo, constituye el cuadrado del vector, y corresponde al cuadrado de su módulo. Esto se debe a que si aplicamos la definición, tenemos:

A•A=AAcos0º=AA(1)=A2

2.- ˆi •ˆi =1 ˆj •ˆj =1 ˆk • ˆk =1

Por las razones expuestas en el punto 1.

3.- Si dos vectores son perpendiculares, entonces según la definición se tiene:

A•B=ABcos90º=AB(0)= 0

Esta es condición de perpendicularidad.

4.- De acuerdo a lo anterior, entonces:

ˆi•ˆj =0 ˆj • ˆk =0 ˆi • ˆk =0

pues los vectores unitariosˆi ,ˆj , ˆk forman un sistema trirectangular.

5.- Ahora estamos en condiciones de encontrar una expresión que permita multiplicar escalarmente dos vectores expresados en coordenadas cartesianas.

Sean los vectores:

A=Ax ˆi +Ay ˆj+Az ˆk; B=Bx ˆi +By ˆj+Bz ˆk

Si queremos multiplicarlos escalarmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto escalar respecto de la suma de vectores:

A•B= (Ax ˆi +Ay ˆj +Az ˆk)•(Bx ˆi +By ˆj +Bz ˆk)

A•B=AxBx(i•i)+ AxBy(i•j)+ AxBz(i•k)+ AyBx(j•i)+ AyBy(j•j)+ AyBz(j•k)+ AzBx(k•i)+ AzBy(k•j)+ AzBz(k•k)

Por tanto:

A•B=AxBx +AyBy +AzBz

Ejemplo

Sean los vectores: A=3ˆi+4ˆj+2kˆ ;B=ˆi+3ˆj-5kˆ. Encontrar su producto escalar.

Solución: De acuerdo a la definición, se tiene:

A•B=(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5